جواب کاردرکلاس صفحه 35 ریاضی و امار دهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 35 ریاضی دهم انسانی سلام به دانش‌آموزان! این تمرین‌ها شامل **معادلات گویا** هستند. برای حل این معادلات، باید: 1. **مخرج مشترک** بگیریم. 2. معادله را از حالت کسری خارج کنیم. 3. **ریشه‌های غیرمجاز** (که مخرج را صفر می‌کنند) را از جواب‌های نهایی حذف کنیم. --- ### الف) $\mathbf{1 + \frac{8}{x^2} = \frac{4}{x}}$ 1. **ریشه‌ی غیرمجاز:** $\mathbf{x \neq 0}$ 2. **مخرج مشترک:** $\mathbf{x^2}$ 3. **ضرب در مخرج مشترک:** $$\mathbf{x^2 \cdot (1) + x^2 \cdot (\frac{8}{x^2}) = x^2 \cdot (\frac{4}{x})}$$ $$\mathbf{x^2 + 8 = 4x}$$ 4. **حل معادله درجه دوم:** $$\mathbf{x^2 - 4x + 8 = 0}$$ **محاسبه $\mathbf{\Delta}$:** $\mathbf{\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(8) = 16 - 32 = -16}$ چون $\mathbf{\Delta < 0}$ است، معادله **ریشه‌ی حقیقی ندارد**. --- ### ب) $\mathbf{\frac{x - 2}{x - 4} = \frac{x + 1}{x + 3}}$ 1. **ریشه‌های غیرمجاز:** $\mathbf{x \neq 4}$ و $\mathbf{x \neq -3}$ 2. **طرفین وسطین (ضرب متقابل):** $$\mathbf{(x - 2)(x + 3) = (x + 1)(x - 4)}$$ 3. **باز کردن پرانتزها (اتحاد جمله مشترک):** * **سمت چپ:** $\mathbf{x^2 + (3-2)x + (-2)(3) = x^2 + x - 6}$ * **سمت راست:** $\mathbf{x^2 + (1-4)x + (1)(-4) = x^2 - 3x - 4}$ 4. **حل معادله درجه اول:** $$\mathbf{x^2 + x - 6 = x^2 - 3x - 4}$$ $$\mathbf{x - 6 = -3x - 4}$$ $$\mathbf{x + 3x = -4 + 6}$$ $$\mathbf{4x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}}$$ **تأیید:** $\mathbf{x = \frac{1}{2}}$ ریشه‌ی غیرمجاز نیست. پس جواب مورد قبول است. --- ### پ) $\mathbf{\frac{24}{10 + m} + 1 = \frac{24}{10 - m}}$ 1. **ریشه‌های غیرمجاز:** $\mathbf{m \neq -10}$ و $\mathbf{m \neq 10}$ 2. **مخرج مشترک:** $\mathbf{(10 + m)(10 - m) = 100 - m^2}$ 3. **ضرب در مخرج مشترک:** $$\mathbf{24(10 - m) + 1(100 - m^2) = 24(10 + m)}$$ $$\mathbf{240 - 24m + 100 - m^2 = 240 + 24m}$$ 4. **حل معادله درجه دوم:** $$\mathbf{-m^2 - 24m + 340 = 240 + 24m}$$ $$\mathbf{-m^2 - 24m - 24m + 340 - 240 = 0}$$ $$\mathbf{-m^2 - 48m + 100 = 0 \Rightarrow m^2 + 48m - 100 = 0}$$ 5. **تجزیه (جمله مشترک):** دو عدد که ضربشان $\mathbf{-100}$ و جمعشان $\mathbf{48}$ باشد، $\mathbf{+50}$ و $\mathbf{-2}$ هستند. $$\mathbf{(m + 50)(m - 2) = 0}$$ $$\mathbf{m = -50 \text{ یا } m = 2}$$ **تأیید:** هر دو ریشه غیرمجاز نیستند. پس هر دو جواب مورد قبول‌اند. --- ### ت) $\mathbf{\frac{y + 2}{y + 3} - \frac{y^2}{y^2 - 9} = 1 - \frac{y - 1}{3 - y}}$ 1. **ریشه‌های غیرمجاز و تجزیه مخرج‌ها:** * $\mathbf{y^2 - 9 = (y - 3)(y + 3)}$ * $\mathbf{3 - y = -(y - 3)}$ * **ریشه‌های غیرمجاز:** $\mathbf{y \neq 3}$ و $\mathbf{y \neq -3}$ 2. **بازنویسی معادله با مخرج‌های استاندارد:** $$\mathbf{\frac{y + 2}{y + 3} - \frac{y^2}{(y - 3)(y + 3)} = 1 - \frac{-(y - 1)}{-(y - 3)}}$$ $$\mathbf{\frac{y + 2}{y + 3} - \frac{y^2}{(y - 3)(y + 3)} = 1 + \frac{y - 1}{y - 3}}$$ 3. **مخرج مشترک:** $\mathbf{(y - 3)(y + 3)}$ 4. **ضرب در مخرج مشترک:** $$\mathbf{(y + 2)(y - 3) - y^2 = 1(y - 3)(y + 3) + (y - 1)(y + 3)}$$ 5. **باز کردن پرانتزها:** * **سمت چپ:** $\mathbf{(y^2 - y - 6) - y^2 = -y - 6}$ * **سمت راست:** $\mathbf{(y^2 - 9) + (y^2 + 2y - 3) = 2y^2 + 2y - 12}$ 6. **حل معادله درجه دوم:** $$\mathbf{-y - 6 = 2y^2 + 2y - 12}$$ $$\mathbf{0 = 2y^2 + 3y - 6}$$ 7. **محاسبه $\mathbf{\Delta}$:** $\mathbf{\Delta = 3^2 - 4(2)(-6) = 9 + 48 = 57}$ $$\mathbf{y = \frac{-3 \pm \sqrt{57}}{4}}$$ **تأیید:** ریشه‌ها غیرمجاز نیستند. $$\mathbf{\text{جواب‌ها: } y = \frac{-3 + \sqrt{57}}{4} \text{ یا } y = \frac{-3 - \sqrt{57}}{4}}$$ --- ### ث) $\mathbf{\frac{x}{a - x} + \frac{a - x}{x} = \frac{a}{x}}$ دارای جواب $\mathbf{x = 2}$ است؟ 1. **ریشه‌های غیرمجاز:** $\mathbf{x \neq 0}$ و $\mathbf{x \neq a}$ 2. **جایگذاری $\mathbf{x = 2}$:** از آنجا که $\mathbf{x = 2}$ جواب است، باید در معادله صدق کند. $$\mathbf{\frac{2}{a - 2} + \frac{a - 2}{2} = \frac{a}{2}}$$ 3. **مخرج مشترک:** $\mathbf{2(a - 2)}$ 4. **ضرب در مخرج مشترک:** $$\mathbf{2(2) + (a - 2)(a - 2) = a(a - 2)}$$ $$\mathbf{4 + (a^2 - 4a + 4) = a^2 - 2a}$$ 5. **حل معادله:** $$\mathbf{a^2 - 4a + 8 = a^2 - 2a}$$ $$\mathbf{-4a + 8 = -2a}$$ $$\mathbf{8 = -2a + 4a}$$ $$\mathbf{8 = 2a \Rightarrow a = 4}$$ **تأیید ریشه‌های غیرمجاز:** اگر $\mathbf{a = 4}$، ریشه‌های غیرمجاز $\mathbf{x \neq 0}$ و $\mathbf{x \neq 4}$ هستند. $\mathbf{x = 2}$ مجاز است. **پاسخ نهایی:** معادله به ازای $\mathbf{a = 4}$ دارای جواب $\mathbf{x = 2}$ است.